代数示例

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $\frac{5}{a + b}$ 。

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2

化简 $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ 。

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解题步骤 2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = b$ 。

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{3 x}{a - b}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + b}{a + b}$ 。

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a + b) (a - b)$ 的形式。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{3 x}{a - b}$ 乘以 $\frac{a + b}{a + b}$ 。

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $(a - b) (a + b)$ 的因式。

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

从 $x + 3 x (a + b)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.5.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.5.1.3

从 $3 x (a + b)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.5.1.4

从 $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

解题步骤 2.6

要将 $- \frac{5}{a + b}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a - b}{a - b}$ 。

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

解题步骤 2.7

将 $\frac{5}{a + b}$ 乘以 $\frac{a - b}{a - b}$ 。

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.9.2

化简。

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解题步骤 2.9.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.9.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.9.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 2.9.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

解题步骤 3

两边同时乘以 $(a + b) (a - b)$ 。

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1

化简 $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

约去 $(a + b) (a - b)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

解题步骤 4.1.1.1.2

重写表达式。

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

解题步骤 4.1.1.2

重新排序。

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解题步骤 4.1.1.2.1

移动 $x$ 。

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

解题步骤 4.1.1.2.2

移动 $x$ 。

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

解题步骤 4.1.1.2.3

移动 $x$ 。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $0 ((a + b) (a - b))$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(a + b) (a - b)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用分配律。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

解题步骤 4.2.1.1.3

运用分配律。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

解题步骤 4.2.1.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

合并 $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.2.1.1

按照 $a (- b)$ 和 $b a$ 重新排列因数。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

解题步骤 4.2.1.2.1.2

将 $- a b$ 和 $a b$ 相加。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

解题步骤 4.2.1.2.1.3

将 $a \cdot a$ 和 $0$ 相加。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

解题步骤 4.2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.2.2.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

解题步骤 4.2.1.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

解题步骤 4.2.1.2.2.3

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.2.3.1

移动 $b$ 。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

解题步骤 4.2.1.2.2.3.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $0$ 乘以 $a^{2} - b^{2}$ 。

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在不等式两边同时加上 $5 a$ 。

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

解题步骤 5.1.2

从不等式两边同时减去 $5 b$ 。

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.2

从 $3 a x + 3 b x + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 a x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.2.2

从 $3 b x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.2.4

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.2.5

从 $x (3 a) + x (3 b)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.2.6

从 $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

解题步骤 5.3

将 $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ 中的每一项除以 $3 a + 3 b + 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ 中的每一项都除以 $3 a + 3 b + 1$ 。

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3 a + 3 b + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $5 a - 5 b$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $5 a$ 中分解出因数 $5$ 。

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 5 b$ 中分解出因数 $5$ 。

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $5 (a) + 5 (- b)$ 中分解出因数 $5$ 。

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$

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