代数示例

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{3^{2} - x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = x$ 。

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{2} + 2 x - 3}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

从 $9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x$ 中分解出因数 $9 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $9 x^{3}$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$\frac{9 x (x^{2}) - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3.1.2

从 $- 45 x^{2}$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x) + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3.1.3

从 $36 x$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x) + 9 x (4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3.1.4

从 $9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x)$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$\frac{9 x (x^{2} - 5 x) + 9 x (4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3.1.5

从 $9 x (x^{2} - 5 x) + 9 x (4)$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$\frac{9 x (x^{2} - 5 x + 4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $- 5$ 。

$- 4, - 1$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{9 x ((x - 4) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $x^{2} + 11 x + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $11$ 。

$2, 9$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

从 $4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 5.1.2

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x) - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 5.1.3

从 $- 32 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x) + 4 x (- 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 5.1.4

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2} - 2 x) + 4 x (- 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 5.1.5

从 $4 x (x^{2} - 2 x) + 4 x (- 8)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2} - 2 x - 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 5.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 5.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x ((x - 4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $x (x - 4)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $9 x (x - 4) (x - 1)$ 中分解出因数 $x (x - 4)$ 。

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.1.2

从 $4 x (x - 4) (x + 2)$ 中分解出因数 $x (x - 4)$ 。

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x - 4) ((4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.1.3

约去公因数。

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x - 4) ((4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.1.4

重写表达式。

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.2

约去 $x + 9$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $(x + 2) (x + 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 9) (x + 2)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 9) (x + 2)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$(9) (x - 1) \cdot \frac{x + 2}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{x + 2}{(4) (x + 2)}$ 和 $9$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} (x - 1) \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.4

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) \frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$(x - 1) \frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{x + 3}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)}$ 乘以 $\frac{(3 + x) (3 - x)}{x + 3}$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot 9 ((3 + x) (3 - x))}{(4) (x + 2) (x + 3)}$

解题步骤 6.6

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

约去公因数。

$\frac{(x + 2) \cdot 9 ((3 + x) (3 - x))}{4 (x + 2) (x + 3)}$

解题步骤 6.6.2

重写表达式。

$\frac{9 ((3 + x) (3 - x))}{(4) (x + 3)}$

解题步骤 6.7

约去 $3 + x$ 和 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

重新排序项。

$\frac{9 ((x + 3) (3 - x))}{(4) (x + 3)}$

解题步骤 6.7.2

约去公因数。

$\frac{9 ((x + 3) (3 - x))}{4 (x + 3)}$

解题步骤 6.7.3

重写表达式。

$\frac{9 (3 - x)}{4}$

代数 示例

代数示例