代数示例

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

解题步骤 1

使用 $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ 中的 $=$ 替换 $<$ 。

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

解题步骤 2

将绝对值方程重写成不带绝对值符号的四个方程。

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

解题步骤 3

化简后，只需求解两个有唯一解的方程。

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

解题步骤 4

求解 $x$ 的 $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1

化简 $(- 2 x + 9) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

重写。

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x + 9) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.3.3

运用分配律。

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.4.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2 x$ 和 $9 x$ 相加。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

解题步骤 4.2

化简 $5 (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

解题步骤 4.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

解题步骤 4.3.2

从 $11 x$ 中减去 $5 x$ 。

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

解题步骤 4.4

在等式两边都加上 $5$ 。

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

解题步骤 4.5

将 $- 9$ 和 $5$ 相加。

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

解题步骤 4.6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

解题步骤 4.6.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

解题步骤 4.6.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

解题步骤 4.6.1.4

从 $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

解题步骤 4.6.1.5

从 $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

解题步骤 4.6.2

因数。

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解题步骤 4.6.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.6.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 4.6.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

解题步骤 4.6.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 4.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 4.9

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.9.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.9.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.10

最终解为使 $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 1$

解题步骤 5

求解 $x$ 的 $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $(- 2 x + 9) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x + 9) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

运用分配律。

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.3.2

运用分配律。

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.3.3

运用分配律。

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.4.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.1.4.2

将 $2 x$ 和 $9 x$ 相加。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

解题步骤 5.2

化简 $- 5 (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

解题步骤 5.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.3.1

在等式两边都加上 $5 x$ 。

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

解题步骤 5.3.2

将 $11 x$ 和 $5 x$ 相加。

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

解题步骤 5.5

从 $- 9$ 中减去 $5$ 。

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

解题步骤 5.6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.6.1

从 $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

解题步骤 5.6.1.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

解题步骤 5.6.1.3

从 $- 14$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

解题步骤 5.6.1.4

从 $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

解题步骤 5.6.1.5

从 $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

解题步骤 5.6.2

因数。

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解题步骤 5.6.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 8 x + 7$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.6.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $7$ ，和为 $- 8$ 。

$- 7, - 1$

解题步骤 5.6.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

解题步骤 5.6.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

解题步骤 5.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.8

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 5.8.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 5.9

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.9.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.10

最终解为使 $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 7, 1$

解题步骤 6

列出所有解。

$x = 2, 1, 7, 1$

解题步骤 7

使用每一个根建立验证区间。

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

解题步骤 8

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 8.1

检验区间 $x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.1.1

选择区间 $x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 8.1.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

解题步骤 8.1.3

左边的 $9$ 不小于右边的 $5$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 8.2

检验区间 $1 < x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.2.1

选择区间 $1 < x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 1.5$

解题步骤 8.2.2

使用原不等式中的 $1.5$ 替换 $x$ 。

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

解题步骤 8.2.3

左边的 $3$ 不小于右边的 $2.5$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 8.3

检验区间 $2 < x < 7$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.3.1

选择区间 $2 < x < 7$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 8.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

解题步骤 8.3.3

左边的 $3$ 小于右边的 $15$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 8.4

检验区间 $x > 7$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.4.1

选择区间 $x > 7$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 10$

解题步骤 8.4.2

使用原不等式中的 $10$ 替换 $x$ 。

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

解题步骤 8.4.3

左边的 $99$ 不小于右边的 $45$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 8.5

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 1$ 为假

$1 < x < 2$ 为假

$2 < x < 7$ 为真

$x > 7$ 为假

$x < 1$ 为假

$1 < x < 2$ 为假

$2 < x < 7$ 为真

$x > 7$ 为假

解题步骤 9

解由使等式成立的所有区间组成。

$2 < x < 7$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$2 < x < 7$

区间计数法：

$(2, 7)$

解题步骤 11

代数 示例

代数示例