代数示例

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

解题步骤 1

画出 $y^{2} = 2 x$ 的图像。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $2 x = y^{2}$ 。

$2 x = y^{2}$

解题步骤 1.2

将 $2 x = y^{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $2 x = y^{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{y^{2}}{2}$

解题步骤 1.3

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.3.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $\frac{y^{2}}{2}$ 进行配方。

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解题步骤 1.3.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

解题步骤 1.3.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.3.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.1.3.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1.3.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.3.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1.1.3.2.1.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.3.1.1.3.2.1.2.2

重写表达式。

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.3.1.1.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = 0 \cdot 2$

解题步骤 1.3.1.1.3.2.3

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$d = 0$

解题步骤 1.3.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.3.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.3.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1.4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.3.1.1.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 1.3.1.1.4.2.1.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$e = 0 - \frac{0}{2}$

解题步骤 1.3.1.1.4.2.1.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$e = 0 - 0$

解题步骤 1.3.1.1.4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 0 + 0$

解题步骤 1.3.1.1.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e = 0$

解题步骤 1.3.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

解题步骤 1.3.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

解题步骤 1.3.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向右。

开口向右

解题步骤 1.3.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 1.3.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.3.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.3.5.3

化简。

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解题步骤 1.3.5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

解题步骤 1.3.5.3.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6

求焦点。

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解题步骤 1.3.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 1.3.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{1}{2}, 0)$

解题步骤 1.3.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = 0$

解题步骤 1.3.8

求准线。

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解题步骤 1.3.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 1.3.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{2}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = - \frac{1}{2}$

方向：开口向右

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{2}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 1.4.1

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \sqrt{2 x}$ 。在本例中，该点为 $(1, 1.41421356)$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \sqrt{2 (1)}$

解题步骤 1.4.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \sqrt{2}$

解题步骤 1.4.1.2.2

最终答案为 $\sqrt{2}$ 。

$y = \sqrt{2}$

解题步骤 1.4.1.3

把 $\sqrt{2}$ 转换成小数。

$= 1.41421356$

解题步骤 1.4.2

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = - \sqrt{2 x}$ 。在本例中，该点为 $(1, - 1.41421356)$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - \sqrt{2 (1)}$

解题步骤 1.4.2.2

化简结果。

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解题步骤 1.4.2.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.4.2.2.2

最终答案为 $- \sqrt{2}$ 。

$y = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.4.2.3

把 $- \sqrt{2}$ 转换成小数。

$= - 1.41421356$

解题步骤 1.4.3

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \sqrt{2 x}$ 。在本例中，该点为 $(2, 2)$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \sqrt{2 (2)}$

解题步骤 1.4.3.2

化简结果。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = \sqrt{4}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (2) = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (2) = 2$

解题步骤 1.4.3.2.4

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 1.4.3.3

把 $2$ 转换成小数。

$= 2$

解题步骤 1.4.4

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = - \sqrt{2 x}$ 。在本例中，该点为 $(2, - 2)$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - \sqrt{2 (2)}$

解题步骤 1.4.4.2

化简结果。

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解题步骤 1.4.4.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - \sqrt{4}$

解题步骤 1.4.4.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (2) = - \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 1.4.4.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (2) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.4.4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 2$

解题步骤 1.4.4.2.5

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 1.4.4.3

把 $- 2$ 转换成小数。

$= - 2$

解题步骤 1.4.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

解题步骤 1.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{2}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

方向：开口向右

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{1}{2}, 0)$

对称轴： $y = 0$

准线： $x = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

解题步骤 2

画出 $x = 2 y$ 的图像。

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解题步骤 2.1

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1.1

将方程重写为 $2 y = x$ 。

$2 y = x$

解题步骤 2.1.2

将 $2 y = x$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $2 y = x$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{2}$

解题步骤 2.2

重写为斜截式。

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解题步骤 2.2.1

斜截式为 $y = m x + b$ ，其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 y 轴截距。

$y = m x + b$

解题步骤 2.2.2

重新排序项。

$y = \frac{1}{2} x$

解题步骤 2.3

使用斜截式求斜率和 y 轴截距。

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解题步骤 2.3.1

使用 $y = m x + b$ 式求 $m$ 和 $b$ 的值。

$m = \frac{1}{2}$

$b = 0$

解题步骤 2.3.2

直线斜率为 $m$ 的值，y 轴截距为 $b$ 的值。

斜率： $\frac{1}{2}$

y 轴截距： $(0, 0)$

斜率： $\frac{1}{2}$

y 轴截距： $(0, 0)$

解题步骤 2.4

任何直线都以使用两点画出其图像。选择两个 $x$ 值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$y = \frac{1}{2} x$

解题步骤 2.4.2

建立 $x$ 值和 $y$ 值的表格。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$

解题步骤 2.5

使用斜率、Y 轴截距或点来绘制线的图象。

斜率： $\frac{1}{2}$

y 轴截距： $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$

斜率： $\frac{1}{2}$

y 轴截距： $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$

解题步骤 3

在同一坐标系上绘制出每一个图像。

$y^{2} = 2 x$

$x = 2 y$

解题步骤 4

代数 示例

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