代数示例

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \div \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 18 x + 80}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

从 $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 3.1.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 3.1.3

从 $8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 3.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 3.1.5

从 $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x + 8)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x ((x - 4) (x - 2))} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 10^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 10$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$\frac{x + 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{x + 4}{x (x - 2)}$ 乘以 $\frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)}$ 。

$\frac{(x + 4) (2 - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.3

约去 $2 - x$ 和 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - (x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.3.3

从 $- 1 (- 2) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2 + x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.3.4

重新排序项。

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.3.5

约去公因数。

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 5.3.6

重写表达式。

$\frac{(x + 4) \cdot (- 1)}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

重写。

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 6.2

重写。

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x^{1} ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 6.3

化简。

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 6.4

去掉多余的括号。

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 移到 $x + 4$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} + 18 x + 80$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $80$ ，和为 $18$ 。

$8, 10$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x^{2} + 12 x + 32}$

解题步骤 9

使用 AC 法来对 $x^{2} + 12 x + 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $32$ ，和为 $12$ 。

$4, 8$

解题步骤 9.2

使用这些整数书写分数形式。

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

将 $- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

解题步骤 10.1.2

从 $- (x + 4)$ 中分解出因数 $x + 4$ 。

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

解题步骤 10.1.3

约去公因数。

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

解题步骤 10.1.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

解题步骤 10.2

约去 $x + 10$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $x (x + 10) (x - 10)$ 中分解出因数 $x + 10$ 。

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

解题步骤 10.2.2

从 $(x + 8) (x + 10)$ 中分解出因数 $x + 10$ 。

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

解题步骤 10.2.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

解题步骤 10.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{x (x - 10)} \cdot \frac{x + 8}{x + 8}$

解题步骤 10.3

将 $\frac{- 1}{x (x - 10)}$ 乘以 $\frac{x + 8}{x + 8}$ 。

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

解题步骤 10.4

约去 $x + 8$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1

约去公因数。

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

解题步骤 10.4.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{x (x - 10)}$

解题步骤 10.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x (x - 10)}$

代数 示例

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