代数示例

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 1

将

$x^{4}$ 重写为

${(x^{2})}^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 2

使

$u = x^{2}$ 。用

$u$ 代入替换所有出现的

$x^{2}$ 。

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对

$u^{2} + 5 u - 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 36$ ，和为

$5$ 。

$- 4, 9$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 4

使用

$x^{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 5

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = x$ 和

$b = 2$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 7

因数。

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解题步骤 7.1

分组因式分解。

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解题步骤 7.1.1

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ 并且它们的和为

$b = 9$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从

$9 x$ 中分解出因数

$9$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

解题步骤 7.1.1.2

把

$9$ 重写为

$- 1$ 加

$10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

解题步骤 7.1.1.3

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

解题步骤 7.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

解题步骤 7.1.3

通过因式分解出最大公因数

$2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

解题步骤 7.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

解题步骤 8

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 9

将

$x + 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 9.1

将

$x + 2$ 设为等于

$0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去

$2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 10

将

$x - 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 10.1

将

$x - 2$ 设为等于

$0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上

$2$ 。

$x = 2$

解题步骤 11

将

$x^{2} + 9$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 11.1

将

$x^{2} + 9$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 11.2

求解

$x$ 的

$x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

从等式两边同时减去

$9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 11.2.3

化简

$\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将

$- 9$ 重写为

$- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 11.2.3.2

将

$\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 11.2.3.3

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 11.2.3.4

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 11.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 11.2.3.6

将

$3$ 移到

$i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 11.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.2.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 11.2.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 11.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 12

将

$2 x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 12.1

将

$2 x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 12.2

求解

$x$ 的

$2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 12.2.2

将

$2 x = 1$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 12.2.2.1

将

$2 x = 1$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 12.2.2.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 13

将

$x + 5$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 13.1

将

$x + 5$ 设为等于

$0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去

$5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 14

最终解为使

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$

代数 示例

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