代数示例

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 5 u - 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 36$ ，和为 $5$ 。

$- 4, 9$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

解题步骤 7

因数。

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解题步骤 7.1

分组因式分解。

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解题步骤 7.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ 并且它们的和为 $b = 9$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

解题步骤 7.1.1.2

把 $9$ 重写为 $- 1$ 加 $10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

解题步骤 7.1.1.3

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

解题步骤 7.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

解题步骤 7.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

解题步骤 7.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

解题步骤 8

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 9

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 10

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 11

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 11.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 11.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 11.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 11.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 11.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 11.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 11.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 11.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 12

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 12.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 12.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 13

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 14

最终解为使 $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$

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