代数示例

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

解题步骤 1

将 $e^{4 x}$ 重写为乘方形式。

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

解题步骤 2

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

解题步骤 4

求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $u = u^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

解题步骤 4.2

从 $3 u^{2} - 9 u - 15$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $3 u^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $- 9 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

解题步骤 4.2.3

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

解题步骤 4.2.4

从 $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

解题步骤 4.2.5

从 $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

解题步骤 4.3

将 $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.3.2.1.2

用 $u^{2} - 3 u - 5$ 除以 $1$ 。

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 5$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.1.3

将 $9$ 和 $20$ 相加。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 4.8

将 $u = u^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

解题步骤 4.9

求解 $u$ 的第一个方程。

$u^{2} = 4.1925824$

解题步骤 4.10

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 4.10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

解题步骤 4.10.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.10.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = \sqrt{4.1925824}$

解题步骤 4.10.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - \sqrt{4.1925824}$

解题步骤 4.10.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

解题步骤 4.11

求解 $u$ 的第二个方程。

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

解题步骤 4.12

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 4.12.1

去掉圆括号。

$u^{2} = - 1.1925824$

解题步骤 4.12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

解题步骤 4.12.3

化简 $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ 。

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解题步骤 4.12.3.1

将 $- 1.1925824$ 重写为 $- 1 (1.1925824)$ 。

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

解题步骤 4.12.3.2

将 $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ 。

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 4.12.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 4.12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 4.12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 4.12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 4.13

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ 的解是 $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ 。

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 5

代入 $\sqrt{4.1925824}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

解题步骤 6

求解 $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ 。

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

解题步骤 6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

解题步骤 6.3

展开左边。

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解题步骤 6.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

解题步骤 6.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

解题步骤 6.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

解题步骤 7

代入 $- \sqrt{4.1925824}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

解题步骤 8

求解 $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ 。

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

解题步骤 8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

解题步骤 8.3

因为 $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 8.4

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ 无解

无解

解题步骤 9

代入 $i \sqrt{1.1925824}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

解题步骤 10

求解 $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ 。

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

解题步骤 10.3

展开左边。

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解题步骤 10.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

解题步骤 10.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

解题步骤 10.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

解题步骤 10.4

展开右边。

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解题步骤 10.4.1

将 $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ 重写为 $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ 。

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

解题步骤 10.4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1.1925824}$ 重写成 ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.4.3

通过将 $\frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ 。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

解题步骤 10.4.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (1.1925824)$ 。

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

解题步骤 10.5

化简。

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解题步骤 10.5.1

化简每一项。

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解题步骤 10.5.1.1

将 $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ 。

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

解题步骤 10.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ 。

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.5.1.3

将 $1.1925824$ 重写为 ${1.09205421}^{2}$ 。

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10.5.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 10.5.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1.5.1

约去公因数。

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 10.5.1.5.2

重写表达式。

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

解题步骤 10.5.1.6

计算指数。

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

解题步骤 10.5.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

解题步骤 10.5.3

将 $1.09205421$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \ln (1.09205421 i)$

解题步骤 11

代入 $- i \sqrt{1.1925824}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

解题步骤 12

求解 $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ 。

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解题步骤 12.1

将方程重写为 $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ 。

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

解题步骤 12.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

解题步骤 12.3

因为 $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 12.4

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ 无解

无解

解题步骤 13

列出使方程成立的解。

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$

代数 示例

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