代数示例

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

解题步骤 1

交换变量。

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ 。

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

解题步骤 2.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

解题步骤 2.4

等式两边同时乘以 $2^{y - 1}$ 。

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

解题步骤 2.5

将方程重写为 $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ 。

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

解题步骤 2.6

将 $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ 中的每一项除以 $x - 2$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ 中的每一项都除以 $x - 2$ 。

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

解题步骤 2.6.2.1.2

用 $2^{y - 1}$ 除以 $1$ 。

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

解题步骤 2.7

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

解题步骤 2.8

通过将 $y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{y - 1})$ 。

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

解题步骤 2.9

化简左边。

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解题步骤 2.9.1

化简 $(y - 1) \ln (2)$ 。

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解题步骤 2.9.1.1

运用分配律。

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

解题步骤 2.9.1.2

将 $- 1 \ln (2)$ 重写为 $- \ln (2)$ 。

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

解题步骤 2.10

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

解题步骤 2.11

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.11.1

在等式两边都加上 $\ln (2)$ 。

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

解题步骤 2.11.2

在等式两边都加上 $\ln (\frac{1}{x - 2})$ 。

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

解题步骤 2.12

将 $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ 中的每一项除以 $\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ 中的每一项都除以 $\ln (2)$ 。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 2.12.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 2.12.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 2.12.3

化简右边。

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解题步骤 2.12.3.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 2.12.3.1.2

重写表达式。

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.3

合并 $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.4.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.1.2

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.2.2

将 $2^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.3

通过将 $x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{x - 1})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.4

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4.4.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

解题步骤 4.2.5

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

解题步骤 4.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ 。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

解题步骤 4.3.3

合并 ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

解题步骤 4.3.3.2

将 $0$ 和 $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

解题步骤 4.3.4

化简每一项。

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解题步骤 4.3.4.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

解题步骤 4.3.4.2

一的任意次幂都为一。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

解题步骤 4.3.4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.4.3.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

解题步骤 4.3.4.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

解题步骤 4.3.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

解题步骤 4.3.4.5

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

解题步骤 4.3.5

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

解题步骤 4.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ 为 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

代数 示例

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