代数示例

$\frac{x + 3}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$

解题步骤 1

将 $\frac{x + 3}{x^{2} + 8 x + 15}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 8 x + 15 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 8 x + 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $15$ ，和为 $8$ 。

$3, 5$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 3) (x + 5) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.4

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x + 3) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, - 5$

解题步骤 3

将 $\frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 5 = 0$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 5

将 $\frac{x + 3}{x^{2} + 8 x + 15} \div \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$x^{2} - 25 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $25$ 。

$x^{2} = 25$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 6.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 6.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 6.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 6.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

解题步骤 6.3

排除不能使 $\frac{x^{2} - 25}{x - 5} = 0$ 成立的解。

$x = - 5$

解题步骤 7

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 5, x = - 3, x = 5$

解题步骤 8

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