代数示例

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{2 y + 1}$ 。

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2.2

重写表达式。

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

解题步骤 3.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 y + 1}$ 重写成 ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

化简。

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简 ${(2 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.3.1.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

解题步骤 3.5.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 y = 4 x^{2} - 1$

解题步骤 3.6.2

将 $2 y = 4 x^{2} - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $2 y = 4 x^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.3.1.1

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.1.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.1.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.3.1.1.2.4

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.6.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{2 x + 1}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

对 $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ 重写为 $2 x + 1$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x + 1}$ 重写成 ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.5.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.5.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简项。

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解题步骤 5.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

合并 $2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ 。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 5.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 5.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

解题步骤 5.3.5.3

重写表达式。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

解题步骤 5.3.6

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.3.6.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

解题步骤 5.3.6.2

将 $4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

解题步骤 5.3.7

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

解题步骤 5.3.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

解题步骤 5.3.9.2

约去公因数。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.9.3

重写表达式。

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

代数 示例

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