代数示例

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

简化。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.1.2

从 $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 3.1.3.4

用 $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 3.3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4

计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.5

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.4.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

化简分母。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 3.6.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 3.6.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 4.1

简化。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.2

从 $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.1.3

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 4.1.3.4

用 $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 4.3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4

计算极限值。

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解题步骤 4.4.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.6

将极限移入根号内。

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.7

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 4.6

化简答案。

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解题步骤 4.6.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 4.6.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 4.6.2

化简分母。

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解题步骤 4.6.2.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 4.6.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 4.6.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1}$

解题步骤 4.6.3.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

列出水平渐近线：

$y = 1, - 1$

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 1, - 1$

无法求斜渐近线

解题步骤 8

代数 示例

代数示例