代数示例

$f (x) = \sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{1}{9} - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $\frac{1}{9}$ 。

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

解题步骤 2.2

将 $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} \leq \frac{\frac{1}{9}}{1}$

解题步骤 2.2.3.2

用 $\frac{1}{9}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{1}{9}$

解题步骤 2.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

解题步骤 2.4

化简方程。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $\sqrt{\frac{1}{9}}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $\sqrt{\frac{1}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 。

$| x | \leq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 2.4.2.1.3

化简分母。

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解题步骤 2.4.2.1.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 2.4.2.1.3.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq \frac{1}{| 3 |}$

解题步骤 2.4.2.1.3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$| x | \leq \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5

将 $| x | \leq \frac{1}{3}$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \frac{1}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{1}{3} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.6

求 $x \leq \frac{1}{3}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

解题步骤 2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $- x \leq \frac{1}{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $- x \leq \frac{1}{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.1.3.1

移动 $\frac{\frac{1}{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot \frac{1}{3}$ 重写为 $- \frac{1}{3}$ 。

$x \geq - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.7.2

求 $x \geq - \frac{1}{3}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- \frac{1}{3} \leq x < 0$

解题步骤 2.8

求解的并集。

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

集合符号：

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \frac{1}{3}]$

集合符号：

${y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

值域： $[0, \frac{1}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

解题步骤 6

代数 示例

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