代数示例

$\sec^{2} (x) - 6 \tan (x) = - 4$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) - 6 \tan (x) = - 4$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\tan^{2} (x) - 6 \tan (x) + 1 = - 4$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

${(u)}^{2} - 6 u + 1 = - 4$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $4$ 。

$u^{2} - 6 u + 1 + 4 = 0$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $u^{2} - 6 u + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 5) (u - 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$u = 5$

解题步骤 9

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 10

最终解为使 $(u - 5) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 5, 1$

解题步骤 11

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = 5, 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = 5$

$\tan (x) = 1$

解题步骤 13

在 $\tan (x) = 5$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (5)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

计算 $\arctan (5)$ 。

$x = 1.37340076$

解题步骤 13.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

解题步骤 13.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 13.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.37340076$

解题步骤 13.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

解题步骤 13.4.3

将 $3.14159265$ 和 $1.37340076$ 相加。

$x = 4.51499342$

解题步骤 13.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 13.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\tan (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 14.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 14.4

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 14.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 14.4.2

合并分数。

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解题步骤 14.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 14.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 14.4.3

化简分子。

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解题步骤 14.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 14.4.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 14.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 14.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

合并解集。

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解题步骤 16.1

将 $1.37340076 + π n$ 和 $4.51499342 + π n$ 合并为 $1.37340076 + π n$ 。

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16.2

将 $\frac{π}{4} + π n$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + π n$ 。

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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