代数示例

$\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 81}$

解题步骤 1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 1.1

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 9^{2}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 9$ 。

$\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x + 9, 9 - x, (x + 9) (x - 9)$

解题步骤 2.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.4

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 2.5

$x + 9$ 的因式是 $x + 9$ 本身。

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.6

$9 - x$ 的因式是 $9 - x$ 本身。

$(9 - x) = 9 - x$

$(9 - x)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.7

$x + 9$ 的因式是 $x + 9$ 本身。

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.8

$x - 9$ 的因式是 $x - 9$ 本身。

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 2.9

$x + 9, 9 - x, x + 9, x - 9$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x + 9) (9 - x) (x - 9)$

解题步骤 3

将 $\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)}$ 中的每一项乘以 $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)}$ 中的每一项乘以 $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ 。

$\frac{x}{x + 9} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $x + 9$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

从 $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{x}{x + 9} ((x + 9) ((9 - x) (x - 9))) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{x}{x + 9} ((x + 9) ((9 - x) (x - 9))) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.1.3

重写表达式。

$x ((9 - x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.2

将 $9$ 重写为 $- 1 (- 9)$ 。

$x ((- 1 (- 9) - x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x ((- 1 (- 9) - (x)) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.4

从 $- 1 (- 9) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x (- 1 (- 9 + x) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.5

重新排序项。

$x (- 1 (x - 9) (x - 9)) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.6

对 $x - 9$ 进行 $1$ 次方运算。

$x (- 1 ({(x - 9)}^{1} (x - 9))) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.7

对 $x - 9$ 进行 $1$ 次方运算。

$x (- 1 ({(x - 9)}^{1} {(x - 9)}^{1})) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x (- 1 {(x - 9)}^{1 + 1}) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x (- 1 {(x - 9)}^{2}) - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.10

使用乘法的交换性质重写。

$- x {(x - 9)}^{2} - \frac{1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.11

约去 $9 - x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.11.1

将 $- \frac{1}{9 - x}$ 中前置负号移到分子中。

$- x {(x - 9)}^{2} + \frac{- 1}{9 - x} ((x + 9) (9 - x) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.11.2

从 $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ 中分解出因数 $9 - x$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} + \frac{- 1}{9 - x} ((9 - x) ((x + 9) (x - 9))) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.11.3

约去公因数。

$- x {(x - 9)}^{2} + \frac{- 1}{9 - x} ((9 - x) ((x + 9) (x - 9))) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.11.4

重写表达式。

$- x {(x - 9)}^{2} - ((x + 9) (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.12

使用 FOIL 方法展开 $(x + 9) (x - 9)$ 。

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解题步骤 3.2.1.12.1

运用分配律。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x (x - 9) + 9 (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.12.2

运用分配律。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 (x - 9)) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.12.3

运用分配律。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.13

合并 $x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.1.13.1

按照 $x \cdot - 9$ 和 $9 x$ 重新排列因数。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.13.2

将 $- 9 x$ 和 $9 x$ 相加。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + 0 + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.13.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x \cdot x + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.14

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.14.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x^{2} + 9 \cdot - 9) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.14.2

将 $9$ 乘以 $- 9$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - (x^{2} - 81) = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.15

运用分配律。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} - - 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.2.1.16

将 $- 1$ 乘以 $- 81$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (9 - x) (x - 9))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简项。

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解题步骤 3.3.1.1

约去 $(x + 9) (x - 9)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1

从 $(x + 9) (9 - x) (x - 9)$ 中分解出因数 $(x + 9) (x - 9)$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9) (9 - x))$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去公因数。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = \frac{2 x}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9) (9 - x))$

解题步骤 3.3.1.1.3

重写表达式。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 2 x (9 - x)$

解题步骤 3.3.1.2

运用分配律。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 2 x \cdot 9 + 2 x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.3.1

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

移动 $x$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 = 18 x - 2 x^{2}$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $18 x$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 - 18 x = - 2 x^{2}$

解题步骤 4.1.2

在等式两边都加上 $2 x^{2}$ 。

$- x {(x - 9)}^{2} - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1

将 ${(x - 9)}^{2}$ 重写为 $(x - 9) (x - 9)$ 。

$- x ((x - 9) (x - 9)) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 9) (x - 9)$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.1

运用分配律。

$- x (x (x - 9) - 9 (x - 9)) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.2.2

运用分配律。

$- x (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9)) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.2.3

运用分配律。

$- x (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$- x (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.3.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$- x (x^{2} - 9 x - 9 x + 81) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.3.2

从 $- 9 x$ 中减去 $9 x$ 。

$- x (x^{2} - 18 x + 81) - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.4

运用分配律。

$- x \cdot x^{2} - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.5

化简。

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解题步骤 4.1.3.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.3.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$- (x^{2} x) - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.5.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{2 + 1} - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.5.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- x^{3} - x (- 18 x) - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 x \cdot x - x \cdot 81 - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.5.3

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 x \cdot x - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.6

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.6.1.1

移动 $x$ 。

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 (x \cdot x) - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{3} - 1 \cdot - 18 x^{2} - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$- x^{3} + 18 x^{2} - 81 x - x^{2} + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.4

从 $18 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 81 x + 81 - 18 x + 2 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.5

将 $17 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$- x^{3} + 19 x^{2} - 81 x + 81 - 18 x = 0$

解题步骤 4.1.6

从 $- 81 x$ 中减去 $18 x$ 。

$- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81 = 0$

解题步骤 4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

解题步骤 4.2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{3} + 19 \cdot 1^{2} - 99 \cdot 1 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 19 \cdot 1^{2} - 99 \cdot 1 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 19 \cdot 1^{2} - 99 \cdot 1 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 19 \cdot 1 - 99 \cdot 1 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.5

将 $19$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 19 - 99 \cdot 1 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.6

将 $- 1$ 和 $19$ 相加。

$18 - 99 \cdot 1 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.7

将 $- 99$ 乘以 $1$ 。

$18 - 99 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.8

从 $18$ 中减去 $99$ 。

$- 81 + 81$

解题步骤 4.2.1.3.9

将 $- 81$ 和 $81$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81}{x - 1}$

解题步骤 4.2.1.5

用 $- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$19 x^{2}$

$99 x$

$81$

解题步骤 4.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$

解题步骤 4.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$

解题步骤 4.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $18 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$

解题步骤 4.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$18 x$

解题步骤 4.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $18 x^{2} - 18 x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$

解题步骤 4.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$

解题步骤 4.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$

解题步骤 4.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 81 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$

解题步骤 4.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$
							-	$81 x$	+	$81$

解题步骤 4.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 81 x + 81$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$
							+	$81 x$	-	$81$

解题步骤 4.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$18 x$	-	$81$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$19 x^{2}$	-	$99 x$	+	$81$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$99 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$81 x$	+	$81$
							+	$81 x$	-	$81$
										$0$

解题步骤 4.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + 18 x - 81$

解题步骤 4.2.1.6

将 $- x^{3} + 19 x^{2} - 99 x + 81$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (- x^{2} + 18 x - 81) = 0$

解题步骤 4.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ 并且它们的和为 $b = 18$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

从 $18 x$ 中分解出因数 $18$ 。

$(x - 1) (- x^{2} + 18 (x) - 81) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

把 $18$ 重写为 $9$ 加 $9$

$(x - 1) (- x^{2} + (9 + 9) x - 81) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 1) (- x^{2} + 9 x + 9 x - 81) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 1) ((- x^{2} + 9 x) + 9 x - 81) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 1) (x (- x + 9) - 9 (- x + 9)) = 0$

解题步骤 4.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 9$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) ((- x + 9) (x - 9)) = 0$

解题步骤 4.2.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (- x + 9) (x - 9) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$- x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

解题步骤 4.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.5

将 $- x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $- x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$- x + 9 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $x$ 的 $- x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$- x = - 9$

解题步骤 4.5.2.2

将 $- x = - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将 $- x = - 9$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$x = 9$

解题步骤 4.6

最终解为使 $(x - 1) (- x + 9) (x - 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 9$

解题步骤 5

排除不能使 $\frac{x}{x + 9} - \frac{1}{9 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 81}$ 成立的解。

$x = 1$

代数 示例

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