代数示例

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 36}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 6^{2}}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

从 $6 x^{2} - 216$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (x^{2}) - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 2.1.2

从 $- 216$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot - 36}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 2.1.3

从 $6 x^{2} + 6 \cdot - 36$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (x^{2} - 36)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 2.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{6 (x^{2} - 6^{2})}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 48$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 48$ ，和为 $- 2$ 。

$- 8, 6$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{8^{2} - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 8$ 和 $b = x$ 。

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 13 x + 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $40$ ，和为 $13$ 。

$5, 8$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.2

约去 $8 + x$ 和 $x + 8$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

重新排序项。

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{8 - x}{x + 5} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{6 (x - 6)}{x - 8}$ 乘以 $\frac{8 - x}{x + 5}$ 。

$\frac{6 (x - 6) (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.4

约去 $x - 6$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $6 (x - 6) (8 - x)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 6.4.2

从 $(x + 6) (x - 6)$ 中分解出因数 $x - 6$ 。

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

解题步骤 6.4.3

约去公因数。

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

解题步骤 6.4.4

重写表达式。

$\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{x + 6}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{- x - 5}{x + 6}$ 。

$\frac{6 (8 - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.6

约去 $8 - x$ 和 $x - 8$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{6 (- 1 (- 8) - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.6.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- 1 (- 8) - (x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.6.3

从 $- 1 (- 8) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 (- 1 (- 8 + x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.6.4

重新排序项。

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.6.5

约去公因数。

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.6.6

重写表达式。

$\frac{6 \cdot (- 1) (- x - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.7

约去 $- x - 5$ 和 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.7.2

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 1 (5))}{(x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.7.3

从 $- (x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.7.4

将 $- (x + 5)$ 重写为 $- 1 (x + 5)$ 。

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.7.5

约去公因数。

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

解题步骤 6.7.6

重写表达式。

$\frac{6 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{x + 6}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 \cdot - 1}{x + 6}$

解题步骤 7.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6}{x + 6}$

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