代数示例

$f (x) = {(x^{2} + 2)}^{2} + 3$

解题步骤 1

确定函数的最高次数。

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解题步骤 1.1

化简并重新排序多项式。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

将 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

解题步骤 1.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

解题步骤 1.1.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

解题步骤 1.1.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 1.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 1.1.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 1.1.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 1.1.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

解题步骤 1.1.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

解题步骤 1.2

确定每项中各变量的指数，然后将其全部相加以得到每项的幂次。

$x^{4} \to 4$

$4 x^{2} \to 2$

$7 \to 0$

解题步骤 1.3

最大的指数是多项式的次数。

$4$

解题步骤 2

因为函数的次数为偶数，所以函数的端点指向相同方向。

偶

解题步骤 3

确定首项系数。

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解题步骤 3.1

化简多项式，并按照从最高次项从左到右重新排列。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

将 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

解题步骤 3.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 3.1.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

解题步骤 3.1.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

解题步骤 3.1.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 3.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 3.1.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 3.1.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 3.1.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

解题步骤 3.1.1.3.2

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

解题步骤 3.1.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

解题步骤 3.2

多项式的首项指的是次数最高的项。

$x^{4}$

解题步骤 3.3

多项式中的首项系数指的是首项的系数。

$1$

解题步骤 4

因为首项系数是正数，所以图像向右上升。

正

解题步骤 5

使用函数的度数和首项系数的符号确定其性质。

1. 偶数且正数：向左上升和向右上升。

2. 偶数且负数：向左下降和向右下降。

3. 奇数且正数：向左下降和向右上升。

4. 奇数且负数：向左下降和向右下降

解题步骤 6

确定性态。

向左上升，向右上升

解题步骤 7

代数 示例

代数示例