代数示例

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5 = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} = x - 5$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y - 3}$ 重写成 ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(\frac{1}{2} \cdot {(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(\frac{1}{2} \cdot {(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

合并分数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

对 $\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将 ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{{(y - 3)}^{1}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

化简。

$\frac{y - 3}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{y - 3}{8} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

等式两边同时乘以 $8$ 。

$8 \frac{y - 3}{8} = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

解题步骤 3.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

约去公因数。

$8 \frac{y - 3}{8} = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

重写表达式。

$y - 3 = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

解题步骤 3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简 $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

运用分配律。

$y - 3 = 8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1.2.1

将 $- 15$ 乘以 $8$ 。

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125$

解题步骤 3.5.2.2.1.2.2

将 $75$ 乘以 $8$ 。

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x + 8 \cdot - 125$

解题步骤 3.5.2.2.1.2.3

将 $8$ 乘以 $- 125$ 。

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000$

解题步骤 3.5.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.3.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000 + 3$

解题步骤 3.5.3.2

将 $- 1000$ 和 $3$ 相加。

$y = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[3]{x - 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.6

对 $\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{2^{3}}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{8}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.8

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{8}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.8.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.9

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {\sqrt[3]{x - 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.10.1

将 ${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ 重写为 $x - 3$ 。

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解题步骤 5.2.3.10.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 3}$ 重写成 ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.10.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.10.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.1.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.2

将 ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.3

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.4

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 100 + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.5

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.10.6

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 1000 - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.11

将 $- 3$ 和 $1000$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[3]{x - 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.13

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.14

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.15

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 5 \cdot 2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.16

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.17

对 $\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{2^{2}} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.18

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.19

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.19.1

从 $- 120$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 4 (- 30) (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4}) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.19.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 4 \cdot (- 30 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4}) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.19.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 {(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.20

将 ${(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ((\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.21

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)$ 。

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解题步骤 5.2.3.21.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} (\sqrt[3]{x - 3} + 10) + 10 (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.21.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.21.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.22

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.22.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.22.1.1

乘以 $\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3}$ 。

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解题步骤 5.2.3.22.1.1.1

对 $\sqrt[3]{x - 3}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.22.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x - 3}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.22.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.22.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{2} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.22.1.2

将 ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.22.1.3

将 $10$ 移到 $\sqrt[3]{x - 3}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 10 \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.22.1.4

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 100) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.22.2

将 $10 \sqrt[3]{x - 3}$ 和 $10 \sqrt[3]{x - 3}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 20 \sqrt[3]{x - 3} + 100) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.23

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 30 (20 \sqrt[3]{x - 3}) - 30 \cdot 100 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.24

化简。

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解题步骤 5.2.3.24.1

将 $20$ 乘以 $- 30$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \cdot 100 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.24.2

将 $- 30$ 乘以 $100$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.25

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[3]{x - 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 600 (\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5) - 997$

解题步骤 5.2.3.26

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

解题步骤 5.2.3.27

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

解题步骤 5.2.3.28

在公分母上合并分子。

解题步骤 5.2.3.29

将 $5$ 乘以 $2$ 。

解题步骤 5.2.3.30

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.30.1

从 $600$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 2 (300) (\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}) - 997$

解题步骤 5.2.3.30.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 2 \cdot (300 (\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})) - 997$

解题步骤 5.2.3.30.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 (\sqrt[3]{x - 3} + 10) - 997$

解题步骤 5.2.3.31

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \cdot 10 - 997$

解题步骤 5.2.3.32

将 $300$ 乘以 $10$ 。

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ 中减去 $30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 997$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 3000$ 和 $3000$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 997$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 997$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $997$ 中减去 $997$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $300 \sqrt[3]{x - 3}$ 中减去 $600 \sqrt[3]{x - 3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 300 \sqrt[3]{x - 3}$ 和 $300 \sqrt[3]{x - 3}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997)$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{(8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) - 3} + 5$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- 997$ 中减去 $3$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000} + 5$

解题步骤 5.3.3.2

从 $8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) - 120 x^{2} + 600 x - 1000} + 5$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 120 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 15 x^{2}) + 600 x - 1000} + 5$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $600 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) - 1000} + 5$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $- 1000$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

解题步骤 5.3.3.2.5

从 $8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

解题步骤 5.3.3.2.6

从 $8 (x^{3} - 15 x^{2}) + 8 (75 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

解题步骤 5.3.3.2.7

从 $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x) + 8 \cdot - 125$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)} + 5$

解题步骤 5.3.3.3

将 $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ 重写为 $2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3})$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)} + 5$

解题步骤 5.3.3.3.2

将 $- 125$ 重写为 ${(- 5)}^{3}$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3})} + 5$

解题步骤 5.3.3.4

从根式下提出各项。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

从 $2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 (\sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}})) + 5$

解题步骤 5.3.3.5.2

约去公因数。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}) + 5$

解题步骤 5.3.3.5.3

重写表达式。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}} + 5$

解题步骤 5.3.3.6

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

解题步骤 5.3.3.7

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.3.3.7.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

解题步骤 5.3.3.7.1.3

代入 $5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $5$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.3.3.7.1.3.1

将 $5$ 代入多项式。

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$125 - 15 \cdot 25 + 75 \cdot 5 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.4

将 $- 15$ 乘以 $25$ 。

$125 - 375 + 75 \cdot 5 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.5

从 $125$ 中减去 $375$ 。

$- 250 + 75 \cdot 5 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.6

将 $75$ 乘以 $5$ 。

$- 250 + 375 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.7

将 $- 250$ 和 $375$ 相加。

$125 - 125$

解题步骤 5.3.3.7.1.3.8

从 $125$ 中减去 $125$ 。

$0$

解题步骤 5.3.3.7.1.4

因为 $5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 5$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}{x - 5}$

解题步骤 5.3.3.7.1.5

用 $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ 除以 $x - 5$ 。

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解题步骤 5.3.3.7.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 5 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} + 50 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $25 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	-	$125$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $25 x - 125$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$
										$0$

解题步骤 5.3.3.7.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 10 x + 25$

解题步骤 5.3.3.7.1.6

将 $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ 书写为因数的集合。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 25)} + 5$

解题步骤 5.3.3.7.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.3.7.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2})} + 5$

解题步骤 5.3.3.7.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

解题步骤 5.3.3.7.2.3

重写多项式。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})} + 5$

解题步骤 5.3.3.7.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

解题步骤 5.3.3.7.3

合并同类因式。

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解题步骤 5.3.3.7.3.1

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

解题步骤 5.3.3.7.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{1 + 2}} + 5$

解题步骤 5.3.3.7.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

解题步骤 5.3.3.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

代数 示例

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