代数示例

$x^{4} + x^{2} - 90 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} + x^{2} - 90 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} + u - 90 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 90$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 90$ ，和为 $1$ 。

$- 9, 10$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 9) (u + 10) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 10) = 0$

解题步骤 1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 10) = 0$

解题步骤 1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 10 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5

将 $x^{2} + 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x^{2} + 10$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 10 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 10 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$x^{2} = - 10$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 10}$

解题步骤 5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 10}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 10$ 重写为 $- 1 (10)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (10)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (10)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{10}$

解题步骤 5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{10}$

解题步骤 5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{10}$

解题步骤 5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

解题步骤 6

最终解为使 $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

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