代数示例

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $9^{x + \frac{1}{2}}$ 重写为 $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ 。

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

解题步骤 1.2

将 $9^{x}$ 重写为 ${(3^{2})}^{x}$ 。

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

解题步骤 1.3

将 ${(3^{2})}^{x}$ 重写为 ${(3^{x})}^{2}$ 。

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = 3^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $3^{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

解题步骤 1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

解题步骤 1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

约去公因数。

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

解题步骤 1.4.3.2

重写表达式。

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

解题步骤 1.4.4

计算指数。

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

解题步骤 1.4.5

将 $3$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

解题步骤 1.5

分组因式分解。

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解题步骤 1.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = - 4$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

解题步骤 1.5.1.2

把 $- 4$ 重写为 $- 1$ 加 $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

解题步骤 1.5.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 1.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 1.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

解题步骤 1.5.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $3^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $3 \cdot 3^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 \cdot 3^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{x}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{1 + x} - 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$3^{1 + x} = 1$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

解题步骤 3.2.4

通过将 $1 + x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{1 + x})$ 。

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

解题步骤 3.2.5

化简左边。

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解题步骤 3.2.5.1

化简 $(1 + x) \ln (3)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1.1

运用分配律。

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

解题步骤 3.2.5.1.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

解题步骤 3.2.6

化简右边。

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解题步骤 3.2.6.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

解题步骤 3.2.7

将 $\ln (3)$ 和 $x \ln (3)$ 重新排序。

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

解题步骤 3.2.8

从等式两边同时减去 $\ln (3)$ 。

$x \ln (3) = - \ln (3)$

解题步骤 3.2.9

将 $x \ln (3) = - \ln (3)$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 3.2.9.1

将 $x \ln (3) = - \ln (3)$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.9.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.9.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.9.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.9.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.9.3.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.9.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2.9.3.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4

将 $3^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3^{x} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3^{x} - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $3^{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3^{x} = 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

解题步骤 4.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$x \ln (3) = \ln (1)$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$x \ln (3) = 0$

解题步骤 4.2.5

将 $x \ln (3) = 0$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $x \ln (3) = 0$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

解题步骤 4.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.5.3.1

用 $0$ 除以 $\ln (3)$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

最终解为使 $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 0$

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