代数示例

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ 。

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ 重写成 ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.3.1.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $25$ 和 $144$ 相加。

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

解题步骤 3.3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$64 a^{3} = 13^{3}$

解题步骤 3.3.1.6

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 a^{3} = 2197$

解题步骤 4

求解 $a$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $2197$ 。

$64 a^{3} - 2197 = 0$

解题步骤 4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

将 $64 a^{3}$ 重写为 ${(4 a)}^{3}$ 。

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

解题步骤 4.2.2

将 $2197$ 重写为 $13^{3}$ 。

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

解题步骤 4.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 4 a$ 和 $b = 13$ 。

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.4

化简。

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解题步骤 4.2.4.1

对 $4 a$ 运用乘积法则。

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.4.3

将 $13$ 乘以 $4$ 。

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.4.4

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

解题步骤 4.4

将 $4 a - 13$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $4 a - 13$ 设为等于 $0$ 。

$4 a - 13 = 0$

解题步骤 4.4.2

求解 $a$ 的 $4 a - 13 = 0$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

在等式两边都加上 $13$ 。

$4 a = 13$

解题步骤 4.4.2.2

将 $4 a = 13$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.2.1

将 $4 a = 13$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

解题步骤 4.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

解题步骤 4.4.2.2.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{13}{4}$

解题步骤 4.5

将 $16 a^{2} + 52 a + 169$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $16 a^{2} + 52 a + 169$ 设为等于 $0$ 。

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $a$ 的 $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $a = 16$ 、 $b = 52$ 和 $c = 169$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3

化简。

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解题步骤 4.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.3.1.1

对 $52$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $169$ 。

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.3

从 $2704$ 中减去 $10816$ 。

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.4

将 $- 8112$ 重写为 $- 1 (8112)$ 。

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8112)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ 。

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.7

将 $8112$ 重写为 $52^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.7.1

从 $8112$ 中分解出因数 $2704$ 。

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.7.2

将 $2704$ 重写为 $52^{2}$ 。

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.1.9

将 $52$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 4.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 4.5.2.3.3

化简 $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 4.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 4.6

最终解为使 $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ 成立的所有值。

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

代数 示例

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