代数示例

$f (x) = e^{x} - 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = e^{x} - 3$ 写为等式。

$y = e^{x} - 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = e^{y} - 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $e^{y} - 3 = x$ 。

$e^{y} - 3 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$e^{y} = x + 3$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

解题步骤 3.4.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (x + 3)$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ 是否为 $f (x) = e^{x} - 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ 。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

解题步骤 5.2.3

合并 $(e^{x} - 3) + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

解题步骤 5.2.3.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.2.4

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

解题步骤 5.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

解题步骤 5.2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln (x + 3))$ 。

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

解题步骤 5.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln (x + 3)) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ 为 $f (x) = e^{x} - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

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