代数示例

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (a)$ 和 $b = \sin (a)$ 。

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $\tan (a)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.2

从 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.2.2

乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.2.3

从 $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.3

将 $\tan (a)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.4

从 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

从 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.4.2

从 $- \sin (a)$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.4.3

从 $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.5

合并指数。

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解题步骤 1.2.5.1

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.5.2

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 1.2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $\tan (a)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 4

约去 $\sin^{2} (a)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ 中分解出因数 $\sin^{2} (a)$ 。

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

乘以 $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $\frac{1}{\cos (a)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (a)}$ 。

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.1.2

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.1.3

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.2

组合 $\frac{1}{\cos (a)}$ 和 $- 1$ 。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.3

将负号移到分数的前面。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.4

将 $\frac{1}{\cos (a)}$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.2

将 $- \frac{1}{\cos (a)}$ 和 $\frac{1}{\cos (a)}$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

解题步骤 7.2

约去 $\cos^{2} (a)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

解题步骤 7.3

将 $- 1 \cos^{2} (a)$ 重写为 $- \cos^{2} (a)$ 。

$1 - \cos^{2} (a)$

解题步骤 8

使用勾股恒等式。

$\sin^{2} (a)$

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