代数示例

$1 < | x + 2 | < 3$

解题步骤 1

求使 $1 < | x + 2 |$ 为真的 $x$ 值。

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解题步骤 1.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$| x + 2 | > 1$

解题步骤 1.2

将 $| x + 2 | > 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.2.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 1.2.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 1.2.3

在 $x + 2$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x + 2 > 1$

解题步骤 1.2.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x + 2 < 0$

解题步骤 1.2.5

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x < - 2$

解题步骤 1.2.6

在 $x + 2$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- (x + 2) > 1$

解题步骤 1.2.7

书写为分段式。

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) > 1 & x < - 2 \end{cases}$

解题步骤 1.2.8

化简 $- (x + 2) > 1$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

运用分配律。

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

解题步骤 1.3

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 1.3.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x > 1 - 2$

解题步骤 1.3.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x > - 1$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 的 $- x - 2 > 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 1.4.1.1

在不等式两边同时加上 $2$ 。

$- x > 1 + 2$

解题步骤 1.4.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- x > 3$

解题步骤 1.4.2

将 $- x > 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $- x > 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 1.4.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.3.1

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 3$

解题步骤 1.5

求解的并集。

$x < - 3$ 或 $x > - 1$

解题步骤 2

求使 $| x + 2 | < 3$ 为真的 $x$ 值。

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解题步骤 2.1

将 $| x + 2 | < 3$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 2.1.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 2.1.3

在 $x + 2$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x + 2 < 3$

解题步骤 2.1.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x + 2 < 0$

解题步骤 2.1.5

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x < - 2$

解题步骤 2.1.6

在 $x + 2$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- (x + 2) < 3$

解题步骤 2.1.7

书写为分段式。

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) < 3 & x < - 2 \end{cases}$

解题步骤 2.1.8

化简 $- (x + 2) < 3$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

运用分配律。

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

解题步骤 2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

解题步骤 2.2

当 $x \geq - 2$ 时求解 $x + 2 < 3$ 。

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解题步骤 2.2.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 2.2.1.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x < 3 - 2$

解题步骤 2.2.1.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x < 1$

解题步骤 2.2.2

求 $x < 1$ 和 $x \geq - 2$ 的交点。

$- 2 \leq x < 1$

解题步骤 2.3

当 $x < - 2$ 时求解 $- x - 2 < 3$ 。

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解题步骤 2.3.1

求解 $x$ 的 $- x - 2 < 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 2.3.1.1.1

在不等式两边同时加上 $2$ 。

$- x < 3 + 2$

解题步骤 2.3.1.1.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- x < 5$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- x < 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- x < 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.3.1.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

用 $5$ 除以 $- 1$ 。

$x > - 5$

解题步骤 2.3.2

求 $x > - 5$ 和 $x < - 2$ 的交点。

$- 5 < x < - 2$

解题步骤 2.4

求解的并集。

$- 5 < x < 1$

解题步骤 3

解为各区间的交集。

$x < - 3$ 或 $x > - 1$

$- 5 < x < 1$

解题步骤 4

求交点。

$- 5 < x < - 3$ 或 $- 1 < x < 1$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$- 5 < x < - 3 or - 1 < x < 1$

区间计数法：

$(- 5, - 3) \cup (- 1, 1)$

解题步骤 6

代数 示例

代数示例