代数示例

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = r$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $r^{2} - 6 r + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{r - 4}{r - 4}$ 。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{r + 2}{r + 2}$ 。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ 乘以 $\frac{r - 4}{r - 4}$ 。

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ 乘以 $\frac{r + 2}{r + 2}$ 。

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ 的因式。

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 6.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 6.3

将 $- 4$ 移到 $r$ 的左侧。

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 6.4

将 $- 4 r$ 和 $r$ 相加。

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 6.5

使用 AC 法来对 $r^{2} - 3 r + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 6.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 7

约去 $r - 2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$

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