代数示例

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 写为等式。

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ 。

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

解题步骤 3.2

两边同时乘以 $1 + e^{- y}$ 。

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

约去 $1 + e^{- y}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

解题步骤 3.3.1.1.2

重写表达式。

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简 $x (1 + e^{- y})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

运用分配律。

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $x e^{- y}$ 。

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

解题步骤 3.4.3

从 $- e^{- y} - x e^{- y}$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

从 $- e^{- y}$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- x e^{- y}$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

解题步骤 3.4.3.3

从 $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ 中分解出因数 $e^{- y}$ 。

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

解题步骤 3.4.4

将 $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ 中的每一项除以 $- 1 - x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.1

将 $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ 中的每一项都除以 $- 1 - x$ 。

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $- 1 - x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $e^{- y}$ 除以 $1$ 。

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.3.1

在公分母上合并分子。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

解题步骤 3.4.4.3.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

解题步骤 3.4.4.3.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

解题步骤 3.4.4.3.4

从 $- 1 (1) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

解题步骤 3.4.4.3.5

将负号移到分数的前面。

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

解题步骤 3.4.5

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.6

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.1

通过将 $- y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- y})$ 。

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.6.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.7

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.1

化简 $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.1.1

分解分数 $\frac{x - 1}{1 + x}$ 成为两个分数。

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

解题步骤 3.4.7.1.2

将负号移到分数的前面。

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

解题步骤 3.4.7.1.3

运用分配律。

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.7.1.4

乘以 $- - \frac{1}{1 + x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.7.1.4.2

将 $\frac{1}{1 + x}$ 乘以 $1$ 。

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.8

将 $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.8.1

将 $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

解题步骤 3.4.8.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.8.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

解题步骤 3.4.8.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

解题步骤 3.4.8.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.8.3.1

移动 $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

解题步骤 3.4.8.3.2

将 $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ 重写为 $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ 。

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ 是否为 $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

去掉圆括号。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.3.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4.3

乘以 $- - e^{- x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4.5

将 $0$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.4.6

将 $e^{- x}$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.6

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.6.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.6.3

以因式分解的形式重写 $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.3.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.6.3.2

从 $e^{- x}$ 中减去 $e^{- x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.6.3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

解题步骤 5.2.7

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

解题步骤 5.2.8

将 $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

解题步骤 5.2.9

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.1

从 $2 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

解题步骤 5.2.9.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

解题步骤 5.2.9.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

解题步骤 5.2.10

约去 $1 + e^{- x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.10.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

解题步骤 5.2.10.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

解题步骤 5.2.11

使用对数规则把 $- x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

解题步骤 5.2.12

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

解题步骤 5.2.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.2

乘以 $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

将 $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ 乘以 $1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.5

在公分母上合并分子。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.6

重新排序项。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.7.1

运用分配律。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7.2

乘以 $- - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7.4

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.3.7.6

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

在公分母上合并分子。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.4.2

乘以 $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.4.2.2

将 $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ 乘以 $1$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

解题步骤 5.3.4.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

解题步骤 5.3.4.5

在公分母上合并分子。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

解题步骤 5.3.4.6

重新排序项。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.7.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.7.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.4.7.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

解题步骤 5.3.7

约去 $x + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ 为 $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

代数 示例

代数示例