代数示例

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

解题步骤 1

将 $2^{5 - x}$ 重写为 $2^{5} \cdot 2^{- x}$ 。

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

解题步骤 2

将 $2^{- x}$ 重写为乘方形式。

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $2^{x}$ 。

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

解题步骤 4.3

组合 $32$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$u + \frac{32}{u} = 12$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 5.2

将 $u + \frac{32}{u} = 12$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $u + \frac{32}{u} = 12$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

约去公因数。

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

重写表达式。

$u^{2} + 32 = 12 u$

解题步骤 5.3

求解方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $12 u$ 。

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

解题步骤 5.3.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 32 - 12 u$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $32$ ，和为 $- 12$ 。

$- 8, - 4$

解题步骤 5.3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 4) = 0$

解题步骤 5.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.3.4

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

解题步骤 5.3.4.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$u = 8$

解题步骤 5.3.5

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.3.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 5.3.6

最终解为使 $(u - 8) (u - 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = 8, 4$

解题步骤 6

代入 $8$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 = 2^{x}$

解题步骤 7

求解 $8 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $2^{x} = 8$ 。

$2^{x} = 8$

解题步骤 7.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{3}$

解题步骤 7.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 3$

解题步骤 8

代入 $4$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$4 = 2^{x}$

解题步骤 9

求解 $4 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $2^{x} = 4$ 。

$2^{x} = 4$

解题步骤 9.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{2}$

解题步骤 9.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 2$

解题步骤 10

列出使方程成立的解。

$x = 3, 2$

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