代数示例

$y = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - \frac{1}{2} y^{3} + 6$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$ 。

$- \frac{1}{2} y^{3} + 6 = x$

解题步骤 2.2

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{y^{3}}{2} + 6 = x$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- \frac{y^{3}}{2} = x - 6$

解题步骤 2.4

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{y^{3}}{2}) = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

化简 $- 2 (- \frac{y^{3}}{2})$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

将 $- \frac{y^{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{2} = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5.1.1.1.4

重写表达式。

$- - y^{3} = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5.1.1.2

乘。

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解题步骤 2.5.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y^{3} = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5.1.1.2.2

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} = - 2 (x - 6)$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 $- 2 (x - 6)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

运用分配律。

$y^{3} = - 2 x - 2 \cdot - 6$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$y^{3} = - 2 x + 12$

解题步骤 2.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- 2 x + 12}$

解题步骤 2.7

从 $- 2 x + 12$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 12}$

解题步骤 2.7.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{2 (- x) + 2 (6)}$

解题步骤 2.7.3

从 $2 (- x) + 2 (6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ 是否为 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) + 6)}$

解题步骤 4.2.3

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (- (- \frac{x^{3}}{2} + 6) + 6)}$

解题步骤 4.2.4

运用分配律。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 1 \cdot 6 + 6)}$

解题步骤 4.2.5

化简表达式。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} - 6 + 6)}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + 0)}$

解题步骤 4.2.5.3

将 $\frac{x^{3}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

解题步骤 4.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{x^{3}}{2}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

解题步骤 4.2.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.7.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x^{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

解题步骤 4.2.7.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

解题步骤 4.2.7.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 4.2.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} x^{3} + 6) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)})$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 (- x + 6)})}^{3} + 6$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

将 ${\sqrt[3]{2 (- x + 6)}}^{3}$ 重写为 $2 (- x + 6)$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ 重写成 ${(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {({(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

解题步骤 4.3.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

解题步骤 4.3.3.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

解题步骤 4.3.3.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot {(2 (- x + 6))}^{\frac{3}{3}} + 6$

解题步骤 4.3.3.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

解题步骤 4.3.3.1.5

化简。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - \frac{1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- x + 6)) + 6$

解题步骤 4.3.3.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 \cdot (- x + 6) + 6$

解题步骤 4.3.3.3

运用分配律。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 6 + 6$

解题步骤 4.3.3.4

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 4.3.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = 1 x - 1 \cdot 6 + 6$

解题步骤 4.3.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 1 \cdot 6 + 6$

解题步骤 4.3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x - 6 + 6$

解题步骤 4.3.4

合并 $x - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{2 (- x + 6)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$ 为 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 (- x + 6)}$

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