代数示例

$\sqrt{2 x + 5} = \sqrt{x + 2} + 1$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x + 5}$ 重写成 ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x + 5)}^{1} = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$2 x + 5 = {(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$ 。

$2 x + 5 = (\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{x + 2} + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} (\sqrt{x + 2} + 1) + 1 (\sqrt{x + 2} + 1)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x + 2} + 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$2 x + 5 = \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

乘以 $\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1.1

对 $\sqrt{x + 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.2

对 $\sqrt{x + 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x + 5 = {\sqrt{x + 2}}^{2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ 重写为 $x + 2$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x + 5 = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$2 x + 5 = {(x + 2)}^{1} + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.5

化简。

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $\sqrt{x + 2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + 1 \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

将 $\sqrt{x + 2}$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 5 = x + 2 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2} + 1$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x + 5 = x + 3 + \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 2}$

解题步骤 2.3.1.3.3

将 $\sqrt{x + 2}$ 和 $\sqrt{x + 2}$ 相加。

$2 x + 5 = x + 3 + 2 \sqrt{x + 2}$

解题步骤 3

求解 $2 \sqrt{x + 2}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x + 3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5$ 。

$x + 3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $2 \sqrt{x + 2}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$3 + 2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5 - x$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 \sqrt{x + 2} = 2 x + 5 - x - 3$

解题步骤 3.2.3

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$2 \sqrt{x + 2} = x + 5 - 3$

解题步骤 3.2.4

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$2 \sqrt{x + 2} = x + 2$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 2)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

化简。

$4 (x + 2) = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 2 = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 8 = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(x + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$4 x + 8 = (x + 2) (x + 2)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$4 x + 8 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x + 8 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 x + 8 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 8 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

解题步骤 5.3.1.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 8$

解题步骤 6.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 x = 8$

解题步骤 6.2.2

合并 $x^{2} + 4 x + 4 - 4 x$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 0 + 4 = 8$

解题步骤 6.2.2.2

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 4 = 8$

解题步骤 6.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = 8 - 4$

解题步骤 6.3.2

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 6.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 6.5

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 6.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 6.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 6.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 6.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

代数 示例

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