代数示例

$\frac{8 x}{x^{2} - 49} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{8 x}{x^{2} - 7^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 7$ 。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 21$ ，和为 $- 4$ 。

$- 7, 3$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 7}{x + 7}$ 。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x + 7}{x + 7}$ 。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x - 7) (x + 3) (x + 7)$ 的因式。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{8 x (x + 3) + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 5 \cdot 7}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6.5

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

解题步骤 6.6

将 $24 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{8 x^{2} + 29 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

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