代数示例

{tan}^{5} (x) - 9 tan (x) = 0

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

解题步骤 1

对

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ 中分解出因数

$\tan (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

从

$\tan^{5} (x)$ 中分解出因数

$\tan (x)$ 。

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

从

$- 9 \tan (x)$ 中分解出因数

$\tan (x)$ 。

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

解题步骤 1.1.3

从

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ 中分解出因数

$\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

解题步骤 1.2

将

$\tan^{4} (x)$ 重写为

${(\tan^{2} (x))}^{2}$ 。

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

解题步骤 1.3

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 1.4

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = \tan^{2} (x)$ 和

$b = 3$ 。

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

解题步骤 1.4.2

去掉多余的括号。

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 3

将

$\tan (x)$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将

$\tan (x)$ 设为等于

$0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解

$x$ 的

$\tan (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自

$π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.2.4

将

$π$ 和

$0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.2.5

求

$\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 4

将

$\tan^{2} (x) + 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将

$\tan^{2} (x) + 3$ 设为等于

$0$ 。

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解

$x$ 的

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

$3$ 。

$\tan^{2} (x) = - 3$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 4.2.3

化简

$\pm \sqrt{- 3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

将

$- 3$ 重写为

$- 1 (3)$ 。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 4.2.3.2

将

$\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.3.3

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.5

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.6

在

$\tan (x) = i \sqrt{3}$ 中求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.6.2

$\arctan (i \sqrt{3})$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 4.2.7

在

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$ 中求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.7.2

$\arctan (- i \sqrt{3})$ 的反正切无意义。

无定义

解题步骤 4.2.8

列出所有解。

无解

解题步骤 5

将

$\tan^{2} (x) - 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将

$\tan^{2} (x) - 3$ 设为等于

$0$ 。

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 5.2

求解

$x$ 的

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上

$3$ 。

$\tan^{2} (x) = 3$

解题步骤 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.4

建立每一个解以求解

$x$ 。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.5

在

$\tan (x) = \sqrt{3}$ 中求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.2.5.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为

$\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自

$π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4

化简

$π + \frac{π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.4.1

要将

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.4.2.1

组合

$π$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.4.3.1

将

$3$ 移到

$π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.3.2

将

$3 π$ 和

$π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2.5.5

求

$\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.5.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.5.6

$\tan (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5.2.6

在

$\tan (x) = - \sqrt{3}$ 中求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 5.2.6.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为

$- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从

$π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 5.2.6.4

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.4.1

将

$2 π$ 加上

$- \frac{π}{3} - π$ 。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.6.4.2

得出的角

$\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与

$- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.5

求

$\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.6.6

将

$π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.6.1

将

$π$ 加到

$- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + π$

解题步骤 5.2.6.6.2

要将

$π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.6.3.1

组合

$π$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.6.4.1

将

$3$ 移到

$π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.4.2

从

$3 π$ 中减去

$π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.5

列出新角。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.7

$\tan (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5.2.7

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5.2.8

合并解集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.8.1

将

$\frac{π}{3} + π n$ 和

$\frac{4 π}{3} + π n$ 合并为

$\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 5.2.8.2

将

$\frac{2 π}{3} + π n$ 和

$\frac{2 π}{3} + π n$ 合并为

$\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 6

最终解为使

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数

$n$

代数 示例

代数示例