代数示例

{log}_{4} (x^{2} - x) = 1 + {log}_{4} (5)

$\log_{4} (x^{2} - x) = 1 + \log_{4} (5)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

{log}_{4} (x^{2} - x) - {log}_{4} (5) = 1

$\log_{4} (x^{2} - x) - \log_{4} (5) = 1$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

{log}_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1

$\log_{4} (\frac{x^{2} - x}{5}) = 1$

解题步骤 3

从

x^{2} - x

$x^{2} - x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

从

x^{2}

$x^{2}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

{log}_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1

$\log_{4} (\frac{x \cdot x - x}{5}) = 1$

解题步骤 3.2

从

- x

$- x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

{log}_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{5}) = 1$

解题步骤 3.3

从

x \cdot x + x \cdot - 1

$x \cdot x + x \cdot - 1$ 中分解出因数

x

$x$ 。

{log}_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

{log}_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$

解题步骤 4

使用对数的定义将

{log}_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1

$\log_{4} (\frac{x (x - 1)}{5}) = 1$ 重写成指数形式。如果

x

$x$ 和

b

$b$ 是正实数且

b \neq 1

$b \neq 1$ ，则

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ 等价于

b^{y} = x

$b^{y} = x$ 。

4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}

$4^{1} = \frac{x (x - 1)}{5}$

解题步骤 5

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为

\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4^{1}$ 。

\frac{x (x - 1)}{5} = 4

$\frac{x (x - 1)}{5} = 4$

解题步骤 5.2

等式两边同时乘以

5

$5$ 。

5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

化简

5 \frac{x (x - 1)}{5}

$5 \frac{x (x - 1)}{5}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

化简项。

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解题步骤 5.3.1.1.1.1

约去

5

$5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1.1.1

约去公因数。

$5 \frac{x (x - 1)}{5} = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3.1.1.1.1.2

重写表达式。

$x (x - 1) = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3.1.1.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3.1.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1.1.3.1

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3.1.1.1.3.2

将

$- 1$ 移到

$x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3.1.1.2

将

$- 1 x$ 重写为

$- x$ 。

$x^{2} - x = 5 \cdot 4^{1}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简

$5 \cdot 4^{1}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

计算指数。

$x^{2} - x = 5 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.1.2

将

$5$ 乘以

$4$ 。

$x^{2} - x = 20$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去

$20$ 。

$x^{2} - x - 20 = 0$

解题步骤 5.5

使用 AC 法来对

$x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.5.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 20$ ，和为

$- 1$ 。

$- 5, 4$

解题步骤 5.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

解题步骤 5.6

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.7

将

$x - 5$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.7.1

将

$x - 5$ 设为等于

$0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 5.7.2

在等式两边都加上

$5$ 。

$x = 5$

解题步骤 5.8

将

$x + 4$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将

$x + 4$ 设为等于

$0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.8.2

从等式两边同时减去

$4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5.9

最终解为使

$(x - 5) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 4$

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