代数示例

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3}) = 2 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{3})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(y - 1)}^{3}$ 。

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{{(y - 1)}^{3}}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2.2

重写表达式。

${(y - 1)}^{3} = 2 x$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y - 1 = \sqrt[3]{2 x}$

解题步骤 3.5

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{2 x} + 1$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3})} + 1$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}} + 1$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $\frac{2}{2}$ 和 ${(x - 1)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

解题步骤 5.2.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{2 {(x - 1)}^{3}}{2}} + 1$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}} + 1$

解题步骤 5.2.3.3.2

用 ${(x - 1)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

解题步骤 5.2.3.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{2 x} + 1)$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {((\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1)}^{3}$

解题步骤 5.3.3

合并 $(\sqrt[3]{2 x} + 1) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x} + 0)}^{3}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\sqrt[3]{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt[3]{2 x}}^{3}$

解题步骤 5.3.4

将 ${\sqrt[3]{2 x}}^{3}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 5.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x)}^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.4.5

化简。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.5.3

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{2 x} + 1) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x} + 1$

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