代数示例

$\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ((x + 2) (x - 2)) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log (x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.3

化简项。

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解题步骤 1.3.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.1.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$\log (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\log (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\log (x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log (x^{2} + 2 \cdot - 2) = 1 - \log (2)$

解题步骤 1.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\log (x^{2} - 4) = 1 - \log (2)$

解题步骤 2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log (x^{2} - 4) + \log (2) = 1$

解题步骤 3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ((x^{2} - 4) \cdot 2) = 1$

解题步骤 4

运用分配律。

$\log (x^{2} \cdot 2 - 4 \cdot 2) = 1$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\log (2 \cdot x^{2} - 4 \cdot 2) = 1$

解题步骤 5.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

解题步骤 6

使用对数的定义将 $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ 。

$2 x^{2} - 8 = 10$

解题步骤 7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$2 x^{2} = 10 + 8$

解题步骤 7.2.2

将 $10$ 和 $8$ 相加。

$2 x^{2} = 18$

解题步骤 7.3

将 $2 x^{2} = 18$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $2 x^{2} = 18$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

解题步骤 7.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

解题步骤 7.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{18}{2}$

解题步骤 7.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.1

用 $18$ 除以 $2$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 7.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 7.5

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 7.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 7.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 7.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 7.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 8

排除不能使 $\log (x + 2) + \log (x - 2) = 1 - \log (2)$ 成立的解。

$x = 3$

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