代数示例

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上 $\frac{32}{x^{2}}$ 。

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.3

合并。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.1.4

约去 $32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.4.1

从 $32 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.4.2.1

从 $x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

解题步骤 1.2.3.1.4.2.2

约去公因数。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

解题步骤 1.2.3.1.4.2.3

重写表达式。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.3.1.5

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

解题步骤 2

求在何处表达式 $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 4$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

合并。

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解题步骤 6.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.2

化简分子。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.3

要将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

解题步骤 6.1.4

要将 $\frac{16}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.1.5.2

将 $\frac{16}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.1.5.3

重新排序 $x^{2} \cdot 2$ 的因式。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7

化简分子。

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解题步骤 6.1.7.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 6.1.7.1.1

运用分配律。

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.1.2

运用分配律。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.1.3

运用分配律。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.7.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.1.7.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.3

运用分配律。

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.7.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.6

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.7.7

重新排序项。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1.8.1

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8.3

从 $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8.4

将 $32$ 重写为 $- 1 (- 32)$ 。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8.5

从 $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8.6

化简表达式。

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解题步骤 6.1.8.6.1

将 $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ 重写为 $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ 。

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.8.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.1.9

化简。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2.3

从 $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2.4

将 $32$ 重写为 $- 1 (- 32)$ 。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2.5

从 $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2.6

化简表达式。

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解题步骤 6.2.6.1

将 $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ 重写为 $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ 。

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3

展开 $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ 。

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解题步骤 6.3.1

对 $x^{4} - x^{2} - 32$ 取反。

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.4

移动括号。

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 32$ 。

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

解题步骤 6.5

将被除数中的最高阶项 $- x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

解题步骤 6.6

将新的商式项乘以除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

解题步骤 6.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{4} + 0 + 0$ 中的所有符号

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

解题步骤 6.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

解题步骤 6.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

解题步骤 6.10

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

解题步骤 6.11

将新的商式项乘以除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

解题步骤 6.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 0$ 中的所有符号

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

解题步骤 6.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

解题步骤 6.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

解题步骤 6.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 8

代数 示例

代数示例