代数示例

$f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 写为等式。

$y = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$ 。

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}} = x$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${({(3 y + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

约去公因数。

${(3 y + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

重写表达式。

${(3 y + 1)}^{1} = x^{3}$

解题步骤 3.3.1.2

化简。

$3 y + 1 = x^{3}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 y = x^{3} - 1$

解题步骤 3.4.2

将 $3 y = x^{3} - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $3 y = x^{3} - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ 是否为 $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1}{3}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

解题步骤 5.2.4.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1}{3}$

解题步骤 5.2.4.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{(3 x + 1) - 1}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

化简。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $3 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x + 0}{3}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (- \frac{1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3.3.3

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} - 1 + 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.3.4.1

合并 $x^{3} - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4.2

将 ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.2.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$ 为 $f (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

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