代数示例

$\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 4 x + 4 \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

把不等式转换成方程。

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

解题步骤 2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 2.2.3

重写多项式。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

解题步骤 2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

使用每一个根建立验证区间。

$x < 2$

$x > 2$

解题步骤 2.6

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 2.6.1

检验区间 $x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.6.1.1

选择区间 $x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 2.6.1.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 \geq 0$

解题步骤 2.6.1.3

左边的 $4$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

真

解题步骤 2.6.2

检验区间 $x > 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.6.2.1

选择区间 $x > 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 2.6.2.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4 \geq 0$

解题步骤 2.6.2.3

左边的 $4$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

真

解题步骤 2.6.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 2$ 为真

$x > 2$ 为真

$x < 2$ 为真

$x > 2$ 为真

解题步骤 2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq 2$ 或 $x \geq 2$

解题步骤 2.8

合并区间。

所有实数

所有实数

解题步骤 3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${y | y \in ℝ}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$