代数示例

$2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$

解题步骤 1

将所有不包含 $| x - 1 |$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$2 | x - 1 | + 2 x + 7 = x^{2}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$2 | x - 1 | + 7 = x^{2} - 2 x$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $7$ 。

$2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$

解题步骤 2

将 $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $2 | x - 1 | = x^{2} - 2 x - 7$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 | x - 1 |}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $| x - 1 |$ 除以 $1$ 。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- x}{1} + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$| x - 1 | = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

解题步骤 3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - 1 = \pm (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x - 1 = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}$

解题步骤 4.2

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} = x - 1$

解题步骤 4.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} - x = - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$

解题步骤 4.4

将 $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ 中的每一项乘以 $2$ 以消去分数。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - \frac{7}{2} = - 1$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

重写表达式。

$x^{2} - 2 x \cdot 2 - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} - 4 x - \frac{7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.3.1

将 $- \frac{7}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2.1.3.2

约去公因数。

$x^{2} - 4 x + \frac{- 7}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.2.1.3.3

重写表达式。

$x^{2} - 4 x - 7 = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} - 4 x - 7 = - 2$

解题步骤 4.5

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} - 4 x - 7 + 2 = 0$

解题步骤 4.6

将 $- 7$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

解题步骤 4.7

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $- 4$ 。

$- 5, 1$

解题步骤 4.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x + 1) = 0$

解题步骤 4.8

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.9

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.9.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 4.9.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4.10

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.10.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.10.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4.11

最终解为使 $(x - 5) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 1$

解题步骤 4.12

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x - 1 = - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$

解题步骤 4.13

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

解题步骤 4.14

化简 $- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2})$ 。

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解题步骤 4.14.1

重写。

$0 + 0 - (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

解题步骤 4.14.2

通过加上各个零进行化简。

$- (\frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}) = x - 1$

解题步骤 4.14.3

运用分配律。

$- \frac{x^{2}}{2} - - x - - \frac{7}{2} = x - 1$

解题步骤 4.14.4

化简。

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解题步骤 4.14.4.1

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 4.14.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} + 1 x - - \frac{7}{2} = x - 1$

解题步骤 4.14.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} + x - - \frac{7}{2} = x - 1$

解题步骤 4.14.4.2

乘以 $- - \frac{7}{2}$ 。

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解题步骤 4.14.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} + x + 1 (\frac{7}{2}) = x - 1$

解题步骤 4.14.4.2.2

将 $\frac{7}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} = x - 1$

解题步骤 4.15

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.15.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x = - 1$

解题步骤 4.15.2

合并 $- \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{7}{2} - x$ 中相反的项。

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解题步骤 4.15.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} + 0 + \frac{7}{2} = - 1$

解题步骤 4.15.2.2

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2} = - 1$

解题步骤 4.16

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.16.1

从等式两边同时减去 $\frac{7}{2}$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 - \frac{7}{2}$

解题步骤 4.16.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2}$

解题步骤 4.16.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2}$

解题步骤 4.16.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2}$

解题步骤 4.16.5

化简分子。

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解题步骤 4.16.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 2 - 7}{2}$

解题步骤 4.16.5.2

从 $- 2$ 中减去 $7$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 4.16.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{2} = - \frac{9}{2}$

解题步骤 4.17

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$- x^{2} = - 9$

解题步骤 4.18

将 $- x^{2} = - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.18.1

将 $- x^{2} = - 9$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 4.18.2

化简左边。

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解题步骤 4.18.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 4.18.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 4.18.3

化简右边。

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解题步骤 4.18.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 4.19

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 4.20

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 4.20.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.20.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 4.21

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.21.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 4.21.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 4.21.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 4.22

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 1, 3, - 3$

解题步骤 5

排除不能使 $2 | x - 1 | - x^{2} + 2 x + 7 = 0$ 成立的解。

$x = 5, - 3$

代数 示例

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