代数示例

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{(\sqrt{x})}^{3} + 8} \cdot (\frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2})$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \sqrt{x}$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) ({\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.1.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x^{1} - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.1.5

化简。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x - \sqrt{x} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 2^{2})} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 4)} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

约去 $x - 2 \sqrt{x} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 4)$ 中分解出因数 $x - 2 \sqrt{x} + 4$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(x - 2 \sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(x - 2 \sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} + 2)} \cdot \frac{x - 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2.1.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} + 2}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + 2 (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 + 2 (\sqrt{x} - 2)}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

合并 $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.1

按照 $\sqrt{x} \cdot - 2$ 和 $2 \sqrt{x}$ 重新排列因数。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 2 \sqrt{x}$ 和 $2 \sqrt{x}$ 相加。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.1.3

将 $\sqrt{x} \sqrt{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

乘以 $\sqrt{x} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{\sqrt{x}}^{2} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x^{1} + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.2.5

化简。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x - 4}$

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