代数示例

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

解题步骤 1

将 $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ 设为等于 $0$ 。

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ 中分解出因数 $r$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $r^{5}$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 7 r^{3}$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 8 r$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.2.4

从 $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ 中分解出因数 $r$ 。

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.2.5

从 $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ 中分解出因数 $r$ 。

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $r^{4}$ 重写为 ${(r^{2})}^{2}$ 。

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.4

使 $u = r^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $r^{2}$ 。

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 7 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 7$ 。

$- 8, 1$

解题步骤 2.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.6

因数。

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解题步骤 2.1.6.1

使用 $r^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.6.2

去掉多余的括号。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.7

将 $r^{4}$ 重写为 ${(r^{2})}^{2}$ 。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

解题步骤 2.1.8

使 $u = r^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $r^{2}$ 。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

解题步骤 2.1.9

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.9.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ 并且它们的和为 $b = - 43$ 。

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解题步骤 2.1.9.1.1

从 $- 43 u$ 中分解出因数 $- 43$ 。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

解题步骤 2.1.9.1.2

把 $- 43$ 重写为 $5$ 加 $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

解题步骤 2.1.9.1.3

运用分配律。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

解题步骤 2.1.9.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.9.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

解题步骤 2.1.9.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

解题步骤 2.1.9.3

通过因式分解出最大公因数 $u + 1$ 来因式分解多项式。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

解题步骤 2.1.10

使用 $r^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ 中分解出因数 $r^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

从 $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ 中分解出因数 $r^{2} + 1$ 。

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

从 $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ 中分解出因数 $r^{2} + 1$ 。

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.12

运用分配律。

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.13

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.13.1

将 $r$ 乘以 $r^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.13.1.1

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.13.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.14

将 $- 8$ 移到 $r$ 的左侧。

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

解题步骤 2.1.15

重新排序项。

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

解题步骤 2.1.16

因数。

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解题步骤 2.1.16.1

以因式分解的形式重写 $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ 。

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解题步骤 2.1.16.1.1

使用有理根检验法因式分解 $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ 。

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解题步骤 2.1.16.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.16.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

解题步骤 2.1.16.1.1.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.16.1.1.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.4

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.5

将 $27$ 和 $45$ 相加。

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.6

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$72 - 24 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.7

从 $72$ 中减去 $24$ 。

$48 - 48$

解题步骤 2.1.16.1.1.3.8

从 $48$ 中减去 $48$ 。

$0$

解题步骤 2.1.16.1.1.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $r - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

解题步骤 2.1.16.1.1.5

用 $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ 除以 $r - 3$ 。

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解题步骤 2.1.16.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $r^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $r$ 。

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $r^{3} - 3 r^{2}$ 中的所有符号

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $8 r^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $r$ 。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 r^{2} - 24 r$ 中的所有符号

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $16 r$ 除以除数中的最高阶项 $r$ 。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 r - 48$ 中的所有符号

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

解题步骤 2.1.16.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$r^{2} + 8 r + 16$

解题步骤 2.1.16.1.1.6

将 $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ 书写为因数的集合。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

解题步骤 2.1.16.1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1.16.1.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.16.1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

解题步骤 2.1.16.1.2.3

重写多项式。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.16.1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = r$ 和 $b = 4$ 。

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.16.2

去掉多余的括号。

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

将 $r^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $r^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$r^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $r$ 的 $r^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$r^{2} = - 1$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$r = \pm i$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = i$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - i$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = i, - i$

解题步骤 2.4

将 $r - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $r - 3$ 设为等于 $0$ 。

$r - 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$r = 3$

解题步骤 2.5

将 ${(r + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(r + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(r + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $r$ 的 ${(r + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $r + 4$ 设为等于 $0$ 。

$r + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$r = - 4$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$r = i, - i, 3, - 4$

解题步骤 3

代数 示例

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