代数示例

$f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ 写为等式。

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(\frac{y}{3})}^{3} + 6$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$ 。

${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

对 $\frac{y}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{y^{3}}{3^{3}} + 6 = x$

解题步骤 3.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{y^{3}}{27} + 6 = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$\frac{y^{3}}{27} = x - 6$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $27$ 。

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去公因数。

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

解题步骤 3.5.1.1.2

重写表达式。

$y^{3} = 27 (x - 6)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $27 (x - 6)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

运用分配律。

$y^{3} = 27 x + 27 \cdot - 6$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $27$ 乘以 $- 6$ 。

$y^{3} = 27 x - 162$

解题步骤 3.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{27 x - 162}$

解题步骤 3.7

化简 $\sqrt[3]{27 x - 162}$ 。

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解题步骤 3.7.1

从 $27 x - 162$ 中分解出因数 $27$ 。

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解题步骤 3.7.1.1

从 $27 x$ 中分解出因数 $27$ 。

$y = \sqrt[3]{27 (x) - 162}$

解题步骤 3.7.1.2

从 $- 162$ 中分解出因数 $27$ 。

$y = \sqrt[3]{27 x + 27 \cdot - 6}$

解题步骤 3.7.1.3

从 $27 x + 27 \cdot - 6$ 中分解出因数 $27$ 。

$y = \sqrt[3]{27 (x - 6)}$

解题步骤 3.7.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{3^{3} (x - 6)}$

解题步骤 3.7.3

从根式下提出各项。

$y = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6)$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) - 6}$

解题步骤 5.2.3

对 $\frac{x}{3}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}} + 6 - 6}$

解题步骤 5.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 6 - 6}$

解题步骤 5.2.5

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 0}$

解题步骤 5.2.6

将 $\frac{x^{3}}{27}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27}}$

解题步骤 5.2.7

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}}}$

解题步骤 5.2.8

将 $\frac{x^{3}}{3^{3}}$ 重写为 ${(\frac{x}{3})}^{3}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x}{3})}^{3}}$

解题步骤 5.2.9

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.2.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.10.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.2.10.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (3 \sqrt[3]{x - 6})$ 。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去公因数。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

解题步骤 5.3.3.1.2

用 $\sqrt[3]{x - 6}$ 除以 $1$ 。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

解题步骤 5.3.3.2

将 ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ 重写为 $x - 6$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 6}$ 重写成 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

解题步骤 5.3.3.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

解题步骤 5.3.3.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

约去公因数。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

重写表达式。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = (x - 6) + 6$

解题步骤 5.3.3.2.5

化简。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x - 6 + 6$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ 为 $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

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