代数示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 9}$

解题步骤 2

对 $x^{2} - 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

解题步骤 4

要求图像中的空心点，请考虑被约去的分母因数。

$x - 3$

解题步骤 5

要求空心点的坐标，请将每个被约去的因数设为等于 $0$ 并求解，然后代回到 $\frac{x + 1}{x + 3}$ 中。

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解题步骤 5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.3

代入 $3$ 替换 $\frac{x + 1}{x + 3}$ 中的 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

代入 $3$ 替换 $x$ 以求空心点的 $y$ 坐标。

$\frac{3 + 1}{3 + 3}$

解题步骤 5.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3 + 3}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4}{6}$

解题步骤 5.3.2.3

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{6}$

解题步骤 5.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 5.4

图像中的空心点是指被约去的因式等于 $0$ 的点。

$(3, \frac{2}{3})$

解题步骤 6

代数 示例

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