代数示例

$\sqrt{x + \sqrt{2 x}} = \sqrt{2 x}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x + \sqrt{2 x}}}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + \sqrt{2 x}}$ 重写成 ${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + \sqrt{2 x})}^{1} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$x + \sqrt{2 x} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x + \sqrt{2 x} = {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.4.1

约去公因数。

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.4.2

重写表达式。

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.5

化简。

$x + \sqrt{2 x} = 2 x$

解题步骤 3

将所有不包含 $\sqrt{2 x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\sqrt{2 x} = 2 x - x$

解题步骤 3.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\sqrt{2 x} = x$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 x}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

化简。

$2 x = x^{2}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$2 x - x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$2 u - u^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $2 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $2 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 2 - u^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 2 + u (- u) = 0$

解题步骤 6.2.2.3

从 $u \cdot 2 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 - u) = 0$

解题步骤 6.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (2 - x) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$2 - x = 0$

解题步骤 6.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.5

将 $2 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $2 - x$ 设为等于 $0$ 。

$2 - x = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $x$ 的 $2 - x = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x = - 2$

解题步骤 6.5.2.2

将 $- x = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将 $- x = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.6

最终解为使 $x (2 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

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