代数示例

$x^{9} - x^{5} + x^{4} - 1 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{9} - x^{5}) + x^{4} - 1 = 0$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{5} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 1.2

通过因式分解出最大公因数 $x^{4} - 1$ 来因式分解多项式。

$(x^{4} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 1.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 1.6.2

因数。

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解题步骤 1.6.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 1.6.2.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 3.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6

将 $x^{5} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{5} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $x^{5} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{5} = - 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\sqrt[5]{- 1}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

解题步骤 6.2.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = - 1$

解题步骤 7

最终解为使 $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = i, - i, - 1, 1$

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