代数示例

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $17 e^{x}$ 。

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

解题步骤 2

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

解题步骤 4

移动 $- 5$ 。

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ 并且它们的和为 $b = - 17$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $- 17 u$ 中分解出因数 $- 17$ 。

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

解题步骤 5.1.1.2

把 $- 17$ 重写为 $3$ 加 $- 20$

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

解题步骤 5.1.1.3

运用分配律。

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

解题步骤 5.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

解题步骤 5.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

解题步骤 5.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

解题步骤 5.3

将 $4 u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $4 u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 u + 1 = 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $u$ 的 $4 u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 u = - 1$

解题步骤 5.3.2.2

将 $4 u = - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $4 u = - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.4

将 $3 u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$3 u - 5 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $u$ 的 $3 u - 5 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$3 u = 5$

解题步骤 5.4.2.2

将 $3 u = 5$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $3 u = 5$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{5}{3}$

解题步骤 5.5

最终解为使 $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

解题步骤 6

代入 $- \frac{1}{4}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $- \frac{1}{4} = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = - \frac{1}{4}$ 。

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

解题步骤 7.3

因为 $\ln (- \frac{1}{4})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 7.4

$e^{x} = - \frac{1}{4}$ 无解

无解

解题步骤 8

代入 $\frac{5}{3}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{5}{3} = e^{x}$

解题步骤 9

求解 $\frac{5}{3} = e^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $e^{x} = \frac{5}{3}$ 。

$e^{x} = \frac{5}{3}$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

解题步骤 9.3

展开左边。

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解题步骤 9.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

解题步骤 9.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

解题步骤 9.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (\frac{5}{3})$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (\frac{5}{3})$

小数形式：

$x = 0.51082562 \dots$

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