代数示例

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $7 y$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 (y) + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $7$ 重写为 $1$ 加 $6$

$\frac{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.1.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2} + y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 y + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1^{3}} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 1.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ 乘以 $\frac{y - 1}{y - 1}$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - (\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}) - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ 乘以 $\frac{y - 1}{y - 1}$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3}{y - 1}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{3}{y - 1}$ 乘以 $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - (\frac{3}{y - 1} \cdot \frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1})$

解题步骤 2.4

将 $\frac{3}{y - 1}$ 乘以 $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ 。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 2.5

重新排序 $(y^{2} + y + 1) (y - 1)$ 的因式。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 y + 1) (y + 3)$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 y (y + 3) + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

移动 $y$ 。

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2} + 6 y + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.2.2

将 $6 y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 \cdot 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 + 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + 2 y) (y - 1)$ 。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 (y - 1) + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.6.3

运用分配律。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1.1

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.7.1.3

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.7.1.3.1

移动 $y$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.7.1.3.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} - 2 y - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.7.2

从 $- y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.8

运用分配律。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3 \cdot 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 4.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并 $2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y + 0}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.1.2

将 $2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.2

将 $2 y^{2}$ 和 $2 y^{2}$ 相加。

$\frac{4 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.3

从 $4 y^{2}$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.4

从 $7 y$ 中减去 $3 y$ 。

$\frac{y^{2} + 4 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.5

从 $4 y$ 中减去 $3 y$ 。

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.6

约去 $y^{2} + y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

解题步骤 5.6.2

重写表达式。

$\frac{1}{y - 1}$

代数 示例

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