代数示例

$f (x) = 4 x^{2}$ , $x \leq 0$

解题步骤 1

求给定函数的值域。

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解题步骤 1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

$[0, \infty)$

解题步骤 1.2

将 $[0, \infty)$ 转换为不等式。

$y \geq 0$

$y \geq 0$

解题步骤 2

求反函数。

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解题步骤 2.1

交换变量。

$x = 4 y^{2}$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $4 y^{2} = x$ 。

$4 y^{2} = x$

解题步骤 2.2.2

将 $4 y^{2} = x$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $4 y^{2} = x$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{4}$

$y^{2} = \frac{x}{4}$

$y^{2} = \frac{x}{4}$

$y^{2} = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4}}$

解题步骤 2.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x}{4}}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $\frac{x}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1.1

从 $x$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{4}}$

解题步骤 2.2.4.1.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 2.2.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} x}$

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} x}$

解题步骤 2.2.4.2

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{x}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{2}$

解题步骤 2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

解题步骤 2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

解题步骤 2.3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}, - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}, - \frac{\sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3

利用原函数的定义域和值域求反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 0$

解题步骤 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$