代数示例

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

解题步骤 1

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

解题步骤 2

因为从最高次项到最低次项有

3

$3$ 次符号的改变，所以最多有

3

$3$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的正数根个数可以通过减去根的对数求得（例如

(3 - 2)

$(3 - 2)$ ）。

正根：

3

$3$ 或

1

$1$

解题步骤 3

要求负根的可能个数，请用

- x

$- x$ 替换

x

$x$ ，并重复比较符号。

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

解题步骤 4

化简多项式。

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解题步骤 4.1

去掉圆括号。

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对

- x

$- x$ 运用乘积法则。

f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

解题步骤 4.2.2

对

- 1

$- 1$ 进行

3

$3$ 次方运算。

f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 {(- x)}^{2} - x - 1$

解题步骤 4.2.3

对

- x

$- x$ 运用乘积法则。

f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 1$

解题步骤 4.2.4

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 (1 x^{2}) - x - 1$

解题步骤 4.2.5

将

x^{2}

$x^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1

$f (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - x - 1$

解题步骤 5

因为从最高次项到最低次项有

0

$0$ 次符号的改变，所以最多有

0

$0$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。

负根：

0

$0$

解题步骤 6

正根的可能个数为

3

$3$ 或

1

$1$ ，负根的可能个数为

0

$0$ 。

正根：

3

$3$ 或

1

$1$

负根：

0

$0$

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