代数示例

$g (x) = 2 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + 9$

解题步骤 1

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

$f (x) = 2 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + 9$

解题步骤 2

因为从最高次项到最低次项有 $0$ 次符号的改变，所以最多有 $0$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。

正根： $0$

解题步骤 3

要求负根的可能个数，请用 $- x$ 替换 $x$ ，并重复比较符号。

$f (- x) = 2 {(- x)}^{4} + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- x) = 2 (1 x^{4}) + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = 2 x^{4} + 4 (- x^{3}) + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.7

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 (1 x^{2}) + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.9

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 8 (- x) + 9$

解题步骤 4.10

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f (- x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 9$

解题步骤 5

因为从最高次项到最低次项有 $4$ 次符号的改变，所以最多有 $4$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的负数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $4 - 2$ ）。

负根： $4$ , $2$ , or $0$

解题步骤 6

正根的可能个数为 $0$ ，负根的可能个数为 $4$ , $2$ , or $0$ 。

正根： $0$

负根： $4$ , $2$ , or $0$

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