代数示例

$V (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$

解题步骤 1

将 $2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{4} - 7 x^{3} + x^{2} + 7 x - 3 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- 7 x^{3} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 7 x^{3} + 7 x$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 7 x^{3}$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

$- 7 x \cdot x^{2} + 7 x + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $7 x$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 1)$ 中分解出因数 $- 7 x$ 。

$- 7 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 7 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- 7 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.1.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + u - 3 = 0$

解题步骤 2.1.7

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 2.1.7.1.1

乘以 $1$ 。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 1 u - 3 = 0$

解题步骤 2.1.7.1.2

把 $1$ 重写为 $- 2$ 加 $3$

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 3) u - 3 = 0$

解题步骤 2.1.7.1.3

运用分配律。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 3 u - 3 = 0$

解题步骤 2.1.7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 3 (u - 1) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

通过因式分解出最大公因数 $u - 1$ 来因式分解多项式。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 3) = 0$

解题步骤 2.1.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $- 7 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

从 $- 7 x (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

从 $(x + 1) (x - 1) (- 7 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (- 7 x + 2 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 1) (x - 1) (- 7 u + 2 u^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.13.1

重新排序项。

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 7$ 。

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解题步骤 2.1.13.2.1

从 $- 7 u$ 中分解出因数 $- 7$ 。

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 7 u + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.2.2

把 $- 7$ 重写为 $- 1$ 加 $- 6$

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.2.3

运用分配律。

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.13.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3) = 0$

解题步骤 2.1.13.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.13.4

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 1) (u - 3)) = 0$

解题步骤 2.1.14

因数。

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解题步骤 2.1.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 1) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(x + 1) (x - 1) (2 x - 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1, \frac{1}{2}, 3$

解题步骤 3

代数 示例

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