Lượng giác Ví dụ

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Bước 1

Bình phương cả hai vế của phương trình.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Bước 2

Rút gọn ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ ở dạng $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.2

Khai triển $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Nhân $5$ với $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.1.2

Nâng $\sin (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.1.3

Nâng $\sin (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $5$ với $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.3

Nhân $5$ với $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.4

Nhân $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Nhân $5$ với $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.4.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.4.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.3.3

Cộng $25 \cos (t) \sin (t)$ và $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.4.2

Đưa $25$ ra ngoài $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.4.3

Đưa $25$ ra ngoài $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.4.4

Đưa $25$ ra ngoài $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 2.6

Nhân $25$ với $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Bước 3

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Bước 4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $t$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $25$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Bước 4.2

Trừ $25$ khỏi $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Bước 6

Đặt $\cos (t)$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (t)$ bằng với $0$ .

$\cos (t) = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (t) = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong cosin.

$t = \arccos (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Bước 6.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (t)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đặt $\sin (t)$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\sin (t)$ bằng với $0$ .

$\sin (t) = 0$

Bước 7.2

Giải $\sin (t) = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong hàm sin.

$t = \arcsin (0)$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$t = 0$

Bước 7.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$t = π - 0$

Bước 7.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$t = π$

Bước 7.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (t)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ đúng.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các câu trả lời.

$t = \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Chứng minh từng đáp án bằng cách thay chúng vào $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ và giải.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$